Códigos correctores de errores y criptografía



In [2]:

    
# Para evitar los warnings de python
import warnings
warnings.filterwarnings('ignore')
%reload_ext sage

Creación del polinomio Goppa



In [3]:

    
# Definimos el cuerpo donde vamos a trabajar
m = 4
K = GF(2)
F.<a> = GF(2^m)



In [6]:

    
# Creamos el anillo de polinomios
PR = PolynomialRing(F,'X') 
X = PR.gen()
N = 15
L = [a^i for i in range(N)]
g = X^3 + X + 1



In [4]:

    
# Imprimimos el polinomio que hemos creado
print ("Polinomio de Goppa \n\n\t g(x)= " + str(g))









    



Polinomio de Goppa 

	 g(x)= X^3 + X + 1

Creación de la matriz generatriz H



In [5]:

    
# Declaración de variables
rango = 3

Comenzamos creando la matriz T



In [6]:

    
T = matrix(F,rango,rango)
for i in range(rango):
    count = rango - i + 1 - 1
    for j in range(rango):
        if i > j:
            T[i,j]=g.list()[count]
            count = count + 1
        if i < j:
            T[i,j] = 0
        if i == j:
            T[i,j] = 1



In [7]:

    
print ("Matriz T: ")
show(T)









    



Matriz T: 






    Out[7]:




 $\newcommand{\Bold}[1]{\mathbf{#1}}\left(\begin{array}{rrr} 1 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 0 \\ 1 & 0 & 1 \end{array}\right)$

Definimos ahora nuestras matriz Y y Z



In [9]:

    
Y = matrix([[L[j]^i for j in range(N)] for i in range(rango)]) # La matriz Y es de tamaño (rango x n : rango=3 filas y n columnas)
show(Y)









    Out[9]:




 $\newcommand{\Bold}[1]{\mathbf{#1}}\left(\begin{array}{rrrrrrrrrrrrrrr} 1 & 1 & 1 & 1 & 1 & 1 & 1 & 1 & 1 & 1 & 1 & 1 & 1 & 1 & 1 \\ 1 & a & a^{2} & a^{3} & a + 1 & a^{2} + a & a^{3} + a^{2} & a^{3} + a + 1 & a^{2} + 1 & a^{3} + a & a^{2} + a + 1 & a^{3} + a^{2} + a & a^{3} + a^{2} + a + 1 & a^{3} + a^{2} + 1 & a^{3} + 1 \\ 1 & a^{2} & a + 1 & a^{3} + a^{2} & a^{2} + 1 & a^{2} + a + 1 & a^{3} + a^{2} + a + 1 & a^{3} + 1 & a & a^{3} & a^{2} + a & a^{3} + a + 1 & a^{3} + a & a^{3} + a^{2} + a & a^{3} + a^{2} + 1 \end{array}\right)$



In [10]:

    
Z = diagonal_matrix([1/g(L[i]) for i in range(N)]) # La matriz Z sabemos es diagonal y de tamaño n x n.
show(Z)









    Out[10]:




 $\newcommand{\Bold}[1]{\mathbf{#1}}\left(\begin{array}{rrrrrrrrrrrrrrr} 1 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & a^{2} + 1 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & a & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & a^{3} + a^{2} + a & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 0 & a^{2} & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & a^{2} + a + 1 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & a^{3} + a + 1 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & a^{2} + a + 1 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & a + 1 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & a^{3} + a^{2} + 1 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & a^{2} + a & 0 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & a^{2} + a & 0 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & a^{3} + 1 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & a^{2} + a + 1 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & a^{2} + a \end{array}\right)$

Calculamos ahora la matriz H generadora del código



In [11]:

    
H = T*Y*Z
show(H)









    Out[11]:




 $\newcommand{\Bold}[1]{\mathbf{#1}}\left(\begin{array}{rrrrrrrrrrrrrrr} 1 & a^{2} + 1 & a & a^{3} + a^{2} + a & a^{2} & a^{2} + a + 1 & a^{3} + a + 1 & a^{2} + a + 1 & a + 1 & a^{3} + a^{2} + 1 & a^{2} + a & a^{2} + a & a^{3} + 1 & a^{2} + a + 1 & a^{2} + a \\ 1 & a^{3} + a & a^{3} & a^{3} + 1 & a^{3} + a^{2} & 1 & a^{3} + a^{2} + 1 & a^{2} & a^{3} + a^{2} + a + 1 & a^{3} + a + 1 & 1 & a & a^{3} + a^{2} + a & a^{2} + 1 & a + 1 \\ 0 & a & a^{2} & a^{3} + a & a + 1 & 1 & a^{3} & a^{3} + a^{2} + 1 & a^{2} + 1 & a^{3} + a^{2} + a + 1 & 1 & a^{3} + 1 & a^{3} + a^{2} & a^{3} + a + 1 & a^{3} + a^{2} + a \end{array}\right)$



In [0]: